[2015년 백석고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

[eqn: int _{0} ^{1} {(4x ^{2} +ax ^{2} -2)dx=0}]을 만족하는 실수 [eqn: a]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]의 그래프 위의 점 [eqn: (2,```3)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이다. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+ int _{0} ^{1} {tf(t)dt}]를 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: {19} over {6}]	② [eqn: {17} over {6}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {13} over {6}]

정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+1]이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

이때, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은? [4.5점]

(가) 모든 실수 [eqn: alpha]에 대하여

[eqn: int _{- alpha } ^{alpha } {f(x)dx=2 int _{0} ^{alpha } {f(x)dx}}]

(나) [eqn: -6<f` prime (1)< -2]

②

① [eqn: - {1} over {12}]	② [eqn: - {2} over {15}]	③ [eqn: - {5} over {12}]

④ [eqn: - {4} over {15}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

[eqn: x ^{10}]을 [eqn: (x+1) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: f(x)]라 할 때,
[eqn: f(0)-f` prime (2)]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y= {1} over {3} x ^{3} + {8} over {3} `(x>0)] 위를 움직이는 점과 직선
[eqn: x-y-10=0] 사이의 거리를 최소가 되게 하는 곡선 위의 점을 점 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: x-y-10=0]까지의 거리는? [4.5점]

③

① [eqn: 4sqrt { 2}]	② [eqn: 5 sqrt {2}]	③ [eqn: 6 sqrt {2}]

④ [eqn: 7 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {2}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 15]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 15]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼내었을 때 공에 적혀 있는 수를 [eqn: a]라 하자. 삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} -12x+8-2a=0]이 서로 다른 세 실근을 갖는다고 할 때, 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 가질 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.7점]

①

[eqn: RARROW] 오류문항. 아마도 [eqn: 3over15]여서 [eqn: 18]로 답한 듯.

서로소 조건을 어떻게.. 수정하기 힘듦.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 28]

함수 [eqn: f(x)= {cases{a(3x-x ^{3} )&```(x GEQ 0)#x ^{3} -ax&```(x<0)}}]의 극솟값이 [eqn: -6]일 때,
[eqn: f(-1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.7점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t+1)(t ^{2} +at+b)dt}]가 오직 [eqn: x=2]에서만 극값을 가질 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -6]

수직선 위의 원점에서 동시에 출발하여 [eqn: 5]초 동안 움직이는
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t(0 LEQ t LEQ 5)]에서의 위치가 각각 [eqn: t ^{3} -5t ^{2}],
[eqn: {5} over {2} t ^{2} -12t]이다. 출발 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: m]인 순간이 [eqn: 4]번이 되도록 하는 실수 [eqn: m]의 값의 범위는 [eqn: a LEQ m<b]이다. 이때, [eqn: b-a]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

곡선 [eqn: f(x)=x ^{3} -x]와 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 8]이 되도록 하는 양의 실수 [eqn: m]에 대하여 원점을 지나고 직선 [eqn: y=mx]에 수직인 직선을 [eqn: g(x)]라 하자. 곡선 [eqn: f(x)=x ^{3} -x]와 직선 [eqn: g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.8점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=6]인 사차함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(2-x)]를 만족시킨다. 방정식
[eqn: f(x)=13]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: 22]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 71]

단답형

두 곡선 [eqn: y=x ^{2} -10x+20], [eqn: y=-x ^{2} +6x-10]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]

[eqn: {8} over {3}]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -ax -3]이 구간 [eqn: (0,```1)]과 구간 [eqn: (2,```3)]에서 극값을 가지도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오. [4점]

[eqn: - {27} over {5} <a<`-4]

함수 [eqn: f(x)=-3x ^{4} +4(a-1)x ^{3} +6ax ^{2} (a>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x LEQ t]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 오직 한 점 [eqn: t=k]([eqn: k]는 실수)에서만 미분가능하지 않는다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 6점]

(1) [eqn: a< -2], [eqn: -2<a< -1], [eqn: a>1]

(2) [eqn: {20} over {3}]

(1) 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오. [3점]

(2) [eqn: a= {3} over {2}]일 때, [eqn: int _{-1} ^{k} {g(t)dt}]의 값을 구하시오. [3점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족 시킬 때, 다음 물음에 답하시오. [총 6점]

(1) 극솟값 : [eqn: -26]

(2) [eqn: f(4)=-2]

(가) [eqn: f(1)=1], [eqn: f` prime (1)<0]

(나) 함수 [eqn: LEFT | f(x)-1 RIGHT |]은 오직 한 점에서만

미분가능하지 않다.
(다) 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(2)]은 서로 다른 세 실근을

갖는다.

(1) 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하시오. [3점]

(2) 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(4)]의 값을 구하시오. [3점]

서술형

함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +1]에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( -1+ {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} = {7} over {6}}]일 때,
[eqn: a]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [5점]

[eqn: a= {1} over {2}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +2x]과 [eqn: x]축 위에 직사각형 [eqn: rmABCD]의 네 꼭짓점이 있고, 점 [eqn: rmE(1,```0)]과 점 [eqn: rmC]의 거리를 [eqn: a]라 하자. 이때, 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이의 최댓값을 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. [6점]

[eqn: {4 sqrt {3}} over {9}]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -(a+2)x ^{2} +ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)`]위의 점[eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. 양의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{k} {g(t)`dt}]의 최댓값이 [eqn: {8} over {3}]일 때, [eqn: a]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. (단, [eqn: a>0])  [6점]

[eqn: a=2]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{n+1} +ax ^{2} +bx+c} over {x ^{n} +1} ``(`0 LEQ x LEQ 2)}]가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

[eqn: int _{-1} ^{5} {f(x)`dx}]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [8점]

(가) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]이다.

[eqn: 8]

[2015년 백석고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com